2005년 01월 06일
2002학년도 수능시험의 사색문제 증명 관련
leejaeyul5@yahoo.co.kr 이재율(02-882-0830)
http://blog.empas.com/leejaeyul5
2002학년도 수능 문제에서 사색문제 관련 내용을 발췌하였습니다.
[27～31] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.
1976년에 ㉠미국의 수학자 아펠(K. Appel)과 하켄(W. Haken)은 지도(地圖)의 채색과 관련된 ‘사색(四色)문제’를 증명했다고 발표했다. 사색문제는 한 세기 이상 수학자들을 괴롭혀 오던 문제로. 어떠한 지도라도 네 가지 색만 있으면 지도상의 모든 지역(국가, 도. 시, 군 등)을 ㉡구별하여 나타낼 수 있음을 증명하는 문제이다. 예를 들어, 아래에서 <그림 1>은 세 가지 색만 있으면 각 지역을 구별하여 나타낼 수 있다. 그러나 <그림 2>는 네 가지 색이 있어야 한다. 그렇다면, <그림2>보다 더 복잡한 지도의 경우에는 몇 가지 색이 필요할까? 이에 대한 답이 ‘어떠한 경우라도 네 가지 색이면 충분하다.’임을 증명하라는 것이 사색문제의 요구이다.
[그림1]은
한 타원의 원둘레에 있는 다섯 개의 점과 이 타원 내부에 있는 한 개의 점을 다섯 개의 선으로 연결한 그림입니다.
[그림2]는
한 타원의 내부에 다시 한 개의 타원을 그리고 내부 타원둘레에 있는 세 개의 점과 이에 대응하는 외부 타원둘레에 있는 세 개의 점을 각각 세 개의 선으로 연결한 그림입니다.
그런데 아펠과 하켄의 증명에서 수학자들의 관심을 끈 점은 증명했다는 사실 자체보다는 그 증명이 이루어진 방법이었다. 그 증명 과정에는 고려해야 할 경우가 대단히 많고 필요한 계산의 양도 엄청났다. 그들은 4년 동안의 집중적인 연구를 통하여 약 만 가지의 기본적인 경우를 분석했으나 인간인 수학자가 그 모든 과정을 점검하기란 불가능했다. 결국 증명 과정은 컴퓨터에 의존할 수밖에 없었으며, 컴퓨터도 이를 해결하는 데 무려 1,200시간이나 걸렸다. 그에 따라 증명의 결정적인 부분은 인간이 직접 확인할 수 없는 상태로 남게 되었다. 이것은 수리적 증명의 개념이 바뀌어야 함을 의미한다. 현대적인 컴퓨터가 개발된 이래 언젠가는 나타날 것으로 예상했던 사건이 드디어 터진 것이다
당시까지 증명은 수학자가 어떤 주장의 진실성을 다른 수학자에게 확인시킬 수 있는. 논리적으로 견실한 추론의 일부였다. 수학자들은 그 증명을 읽음으로써 명제의 진실성을 확신하고, 그것이 진실인 이유도 이해할 수 있었다. 그런데 사색문제의 증명은 거의 컴퓨터에 의존해서 이루어졌다. 그 증명을 받아들이려면 증명에 사용된 컴퓨터 프로그램이 제작자의 의도대로 실행되었다고 믿어야만 한다. 하지만 처음에는 많은 수학자가 이에 대해 회의적으로 반응했다. 어떤 수학자는 ㉢“컴퓨터에서 얻은 결과를 불가피하게 이용하는 이런 과정은 사람의 손으로 점검해 볼 수 없다는 점에서 수학적 증명으로 간주할 수 없다.”라고 주장했다. 이런 사람들에게 사색문제는 여전히 미해결 상태로 남아 있다.
이 증명이 치음 발표되고 10여 년이 지난 뒤까지도 증명에 사용된 프로그램에서 그 증명을 무효로 만들 수 있는 오류가 발견되었다는 소문이 주기적으로 나돌았다 그러나 시간이 흐르고 컴퓨터가 더욱더 많이 사용됨에 따라, 사색문제의 증명을 받아들이지 않는 수학자의 수는 점차로 줄어들었다. 오늘날 대다수의 수학자는 컴퓨터의 출현이 수학 연구의 방법뿐 아니라 ‘무엇을 증명으로 간주할 것인가’에 관한 개념마저도 변화시켰다는 사실을 인정하게 되었다.
사색문제는 100 여년 이상의 긴 세월 동안 수많은 수학자들을 괴롭혀 온 미해결 문제이며, 4년 동안의 집중 연구 결과인, 아펠과 하켄의 증명 과정은 컴퓨터로도 1200시간이나 걸려서 해결된다고 하였습니다.
우리는 보편적인 지성을 가진 인간들에게 논리적으로 분명하게 설명할 수가 없는 내용을 증명이라고 인정할 수가 있는지, 다시 한번 진지하게 생각하여 보아야 할 것이라고 사료됩니다.
수능 문제에서 그림1은 세 가지 색으로, 그림2는 네 가지 색으로 분별이 된다고 하였는데, 이 문장 내용은 증명이 필요 없는 확실한 문장임을 우리는 어떻게 이해할 수가 있는 것인지 고심하여 볼 필요도 있다고 생각됩니다.
우리의 사색문제 증명을 요약합니다.
두 개의 인접한 도형들이 상호간에 폐곡선의 일부를 공유하고 있으면 2가지의 색으로 분별하여야 하지만, 한 개 또는 수 개의 점만을 공유하고 곡선의 일부를 공유하지 아니하면 한 가지의 색으로 분별이 되는 것은 당연한 사실입니다.
모든 도형들이 하나의 점에 접하도록, 즉 도형을 만드는 폐곡선들이 하나의 점을 지나도록 그리되, 폐곡선들이 이 점에 몇 번을 지나도 상관이 없으며, 인접하는 도형들과는 곡선을 공유할 수도 있고, 또는 곡선을 공유하지 아니할 수도 있으며, 도형의 수, 크기, 모양 등에 전혀 제한이 없도록 무수한 도형들을 그리면, 이 모든 도형들이 3가지의 색으로 분별이 된다는 내용이 우리 증명의 핵심입니다.
이와 같이 한 개의 점에 접하는 모든 도형들이 3가지의 색으로 분별이 되는 내용이 증명됨으로서 사색문제 증명 내용이 완결되는 것입니다.
****** 4색 문제 증명 내용 ******
제1단계 :
하나의 폐곡선이 전체의 곡면을 양분하고 있을 때, 이 들 두 개의 도형은 폐곡선을 공유하고 있으므로, 이 들 두 개의 도형이 분별되기 위하여서는 2가지의 색이 필요하다.
제2단계 :
곡면을 양분하고 있는 한 폐곡선에 한 개의 점을 정하고, 다시 이 폐곡선에 다른 점들을 정하여, 양분된 두 개의 도형 중에서 한 쪽 도형의 내부만을 지나면서, 한 개의 점에서 다른 점들에 연결된 곡선들에 의하여 만들어진 도형들, 즉 양분하는 폐곡선의 일부를 공유하는 모든 도형들은 2가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면 서로 이웃하지 아니한 도형들은 서로의 폐곡선의 일부도 공유할 수가 없고 단지 폐곡선이 한 점에만 지나기 때문에, 즉 도형들이 한 점에서만 서로 접하기 때문에 같은 색으로 분별이 됨으로, 서로 이웃하는 도형들만 2가지의 색으로 분별하면 되는 것이며, 교대로 반복되면서 분별이 되기 때문이다.
제3단계 :
곡면에 모양, 크기, 수, 상호간 곡선이나 점의 공유 여부에 제한 없이 도형들을 그리되, 이 모든 도형들이 반드시 한 개의 점에 접하도록, 즉 모든 도형들의 폐곡선들이 반드시 한 개의 점을 지나도록 그리게 되면, 이 모든 도형들은 3가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면, 이 모든 도형들 중에서 임의의 한 도형을 선택하면, 나머지의 도형들은 임의의 도형의 내부에 있는 도형들과 외부에 있는 도형들로 구분될 수가 있고, 외부에 있는 도형들을 다시 구분하면 임의의 도형의 곡선을 공유하는 도형들과 곡선에 점으로만 접하는 도형들로 구분되고, 곡선을 공유하는 도형들은 제2단계와 같이 2가지의 색으로 분별이 되기 때문이다.
제4단계 :
한 폐곡선이 전체의 곡면을 양분하여 외부와 내부로 구분되어 있고, 양분된 한 쪽인 외부에 모양, 크기, 수, 상호간 곡선이나 점의 공유 여부에 제한 없이 도형들을 그리되, 이 모든 도형들의 곡선이 반드시 전체의 곡면을 양분하고 있는 폐곡선의 일부를 공유하도록 그리게 되면, 이 모든 도형들은 3가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면, 이 모든 도형들이 전체의 곡면을 양분하고 있는 폐곡선과 접하는 곳에 나타나는 모든 점들을 보조 곡선들로 연장하여 내부에 정한 임의의 한 점에 연결되도록 하면, 이 때 만들어 지는 모든 도형들은 제3단계와 같이 3가지의 색으로 분별이 되기 때문이다.
제5단계 :
곡면에서 임의의 한 도형의 폐곡선을 공유하는 모든 도형들은 제4단계와 같이 3가지의 색으로 분별이 됨으로, 한 도형과 이 도형의 폐곡선을 공유하는 모든 도형들, 즉 전체의 도형들은 결국 4가지의 색으로 분별이 된다.
제6단계 :
곡면에 있는 도형들 중에서, 임의의 한 도형을 선택하면, 이 도형의 폐곡선을 공유하는 도형들을 포함한 전체의 도형들은 제5단계와 같이 4가지의 색으로 분별이 된다. 이 때 임의의 한 도형의 폐곡선은 공유하지 않고, 임의의 도형의 폐곡선의 일부를 공유하고 있는 도형들의 폐곡선의 일부를 공유하는 또 다른 하나의 도형을 선택하여도, 이 모든 도형들은 역시 4가지의 색으로 분별이 된다.
제7단계 :
제6단계에서 선택한 또 다른 하나의 도형과 이 도형의 폐곡선의 일부를 공유하는 모든 도형들, 그리고 계속 반복하여 같은 방법으로 다시 선택한 또 다른 도형을 포함한 모든 도형들도 4가지의 색으로 분별된다. 따라서 곡면의 모든 도형들은 4가지의 색으로 분별되는 것이다. 증명 끝. 2003. 06. 30.
이 재 율 이 유 진
# by | 2005/01/06 22:00 | 통합.생활.진실.자유 | 트랙백 | 덧글(20)
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과수원 BBS에 글 올리신 것 보았습니다. 그런데 증명의 2단계에 오류가 있는 듯 합니다. 2단계 증명중에
"서로 이웃하지 아니한 도형들은 서로의 폐곡선의 일부도 공유할 수가 없고" 이 부분에 문제가 있습니다. 한점과 다른점 사이를 잇는 곡선상에서는 이웃하지 않지만 도형 자체는 서로 폐곡선을 공유할 수 있습니다. 이 경우 2개의 색으로 칠할 수 없게 되지요.
이에 대한 본인(이재율)의 응답입니다.
엄상일님. 제2단계를 오해하시고 계십니다.
한 점과 다른점들이 모두 같은 폐곡선에 있기 때문에, 이웃하지 않은 도형은 곡선을 공유할 수가 없는 것입니다.
제2단계는 한 도형안에서의 구분임을 다시 잘 숙고하시기 바랍니다.
간단한 공리적인 사실입니다.
이때 다수의 도형들 중에서 한 도형을 빈 공간으로 하면, 도형들의 수가 짝수나 홀수에 상관없이 2가지의 색으로 분별됩니다. 이 내용은 제2단계의 도형들과 닮은 내용입니다.
우리의 증명은 연역 논리적인 방법이며, 도형의 수나 모양 등에 전혀 제한을 두지 아니하였습니다. 모든 곡면의 도형에 적용이 되는 것입니다.
다른 방법으로 설명을 드립니다. 곡면에 있는 도형들 중에서 한 도형을 선정하면, 이 도형의 폐곡선을 공유하고 있는 외부 도형들이 이 폐곡선과 접하는 폐곡선 상에는 많은 점들이 나타납니다. 이 점들과 폐곡선 내부에 정한 임의의 한 점을 곡선들로 연결하는 것입니다. 이와 같이 연장된 도형들은 한 점에서 접하는 도형들이 됨으로서, 3가지의 색으로 충분하게 분별이 되는 것입니다. 다시 말씀드리면, 한 도형의 폐곡선을 공유하고 있는 모든 외부 도형들도 한 점에서 접하는 도형들과 마찬가지로 3가지의 색으로 충분하게 분별이 되는 것입니다. 즉,곡면에 있는 도형들 중에서 임의의 한 도형에 A색을 칠하면 이 도형의 곡선을 공유하는 모든 도형들은 전술한 바와 같이 B색, C색, D색으로 충분하게 분별이 됩니다. 이 때 B색을 칠한 도형의 곡선을 공유하는 모든 도형들은 전술한 바와 같이 C색, D색, A색으로 충분하게 분별이 됩니다. 마찬가지로 C색을 칠한 도형의 곡선을 공유하는 모든 도형들은 전술한 바와 같이 D색, A색, B색으로 충분하게 분별이 됩니다. 그리고 D색을 칠한 도형의 곡선을 공유하는 모든 도형들은 전술한 바와 같이 A색, B색, C색으로 충분하게 분별이 됩니다. 따라서 이와 같이 반복됨으로서 곡면의 모든 도형들은 4가지 이하의 색으로 충분하게 분별이 되는 것입니다.
선생님의 글 잘 읽어 보았습니다.
선생님께서 쓰신 글에서 한 부분에
"곡면에 모양, 크기, 수, 상호간 곡선이나 점의 공유 여부에 제한 없이 도형들을 그리되, 이 모든 도형들이 반드시 한 개의 점에 접하도록, 즉 모든 도형들의 폐곡선들이 반드시 한 개의 점을 지나도록 그리게 되면" 이라는 말이 있습니다.
이것은 '모든 지도에서의 도형들은 반드시 한개의 점을 지난다'라는 것을 전제하는 것이 됩니다.
그렇지만 세계에서 알려진 흔히 우리가 부르는 '사색문제'라는 문제는
'모든경우의 지도'에서 적용 되어야 하는 것입니다.
선생님의 증명은 '모든 지도는 4가지 색만으로 채워질 수 있다'의 증명이 아닌, '모든 도형의 폐곡선들이 반드시 한개의 점에 접할때, 그 지도는 4가지 색만으로 채워 질 수 있다.'라고 하셔야 옳은 표현일 것입니다.
그것만 수정해주시면 감사하겠습니다.
선생님 그럼 새해에도 건강하십시요.
나라들의 모양, 크기, 수와 상호 간에 점이나 국경선의 공유 여부에 제한 없이 나라들을 그리되, 이 모든 나라들이 반드시 임의의 한 점에 접하도록, 즉 모든 나라들의 국경선들이 반드시 임의의 한 점을 지나도록 그려 본다. 이 때 이 모든 나라들은 3가지 이하의 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다. 왜냐하면, 이 모든 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하면, 나머지의 나라들은 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 나라들과 국경선에 점으로만 접하는 나라들로 분별될 수가 있다. 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 나라들은 외부에서 이 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 나라들로서 2가지 색으로 충분하게 구분이 되기 때문인 것이다.
다음은 4색 구분입니다.
지도상 수많은 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하게 되면, 이 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들의 국경선들이 이 선정된 임의 나라의 국경선과 접하고 있음으로, 이 선정된 임의 나라의 국경선에는 많은 점들이 나타난다. 이 모든 점들과 선정된 임의 나라의 내부에 정한 임의의 한 점을 보조선들로 연결하여 본다. 이와 같이 보조선들을 연장하여 만들어진 새로운 나라들은 한 점에 접하는 나라들이 되어, 3가지 색으로 충분하게 구분이 된다. 따라서 임의의 한 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들도, 한 점에 접하고 있는 모든 나라들과 마찬가지로 3가지 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다.
지도상 수많은 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하여 A색을 칠할 경우에, 이 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 B색, C색, D색으로 충분하게 구분이 된다. 이 때 B색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 C색, D색, A색으로 충분하게 구분이 된다. 마찬가지로 C색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 D색, A색, B색으로 충분하게 구분이 된다. 그리고 D색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 A색, B색, C색으로 충분하게 구분이 된다. 이상과 같이 지도상 모든 나라들은 4가지 이하의 색으로 충분하게 구분되는 것이다.
x^4 + y^4 + z^4 = w^4의 정수해가 0,0,0,0밖에 없다는 것을 증명한다면
사람들도 다른 풀이를 인정할 텐데요 ㅎㅎㅎㅎ
수백년동안 풀지 못한 문제인데요
2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
ㅇㅋ?
본인은 4색구분 정리와 페르마 정리를 증명하였을 뿐입니다.
잘 아는 바와 같이, 우리의 증명은 간단 명료하고 완벽합니다. 귀 학회는 대한민국 공익법인으로서 합당한 조치를 하여야 할 것입니다.
첨부: A Short and Plain Proof of F L T.pdf
09/10/19 (월)에 KMS <paper@kms.or.kr>님이 쓰신 메시지:
보낸 사람: KMS <paper@kms.or.kr>
제목: [BKMS] Returning your manuscript
받는 사람: leejaeyul5@yahoo.co.kr
Dear Professor Jae Yul Lee :
Greetings. Thank you very much for submitting your article
Title: A Short and Plain Proof of Fermat`s Last Theorem
I am sorry but your paper "A Short and Plain Proof of Fermat`s Last Theorem " which you submitted to the Bulletin of the Korean Mathematical Society will not be accepted for publication. The decision was made because the Bulletin of the Korean Mathematical Society has a large backlog of papers already accepted for publication so we are operating with higher standards.
Thank you. Sincerely, The Editorial Committee